Uttryck med parenteser
I det här avsnittet ska vi lära oss räkna med uttryck som innehåller parenteser. Vi ska undersöka hur parenteser fungerar tillsammans med de fyra räknesätten och vad som händer med parenteserna när vi förenklar uttryck.
Teckna uttryck med parenteser
Tänk dig att vi har en familj som består av fyra personer, som ska gå på ett biobesök tillsammans. Var och en av familjemedlemmarna ska ha en biobiljett som kostar kr, en påse godis som kostar 20 kr och en dryck som kostar 30 kr.
Vill vi teckna ett uttryck för familjens totala kostnad för biobesöket, kan vi teckna det så här:
$$ 4\cdot +4\cdot 30+4\cdot 20$$
Vi kan beräkna värdet av detta uttryck så här:
$$4\cdot +4\cdot 30+4\cdot 20=$$
$$=++80=$$
Biobesöket kostade totalt kr för familjen.
Men att teckna uttrycket på det här sättet kan vara lite krångligt. Vi vet ju att var och en av familjemedlemmarna har samma kostnad för biobesöket (biobiljetten, godispåsen och drycken), så vi kan istället skriva uttryck med hjälp av en parentes, så här:
$$ 4\cdot (+30+20)$$
När vi ska beräkna ett uttrycks värde ska vi enligt räkneordningen först beräkna värdet av parenteser. Därför beräknar vi värdet av utt
Faktorisering och Parenteser
I detta avsnitt kommer vi behandla hur vi hanterar matematiska uttryck som innehåller parenteser, vilka räkneregler vi ska följa för att beräkna tal med parenteser. Vi lär oss vilken prioriteringsordning som finns för olika räknesätt, om de särskilda regler som finns för multiplikation och division av parenteser, samt vad som gäller för positiva och negativa tal om man tar bort en parentes.
Från avsnittet om distributiva lagen känner vi till den distributiva lagen, som lyder:
$$a(b+c)=ab+ac$$
där \(a\), \(b\) och \(c\) är reella tal. När vi multiplicerar ett tal \(a\) med ett parentesuttryck, så ska varje term inom parentesen multipliceras med talet \(a\). Man kallar detta för att multiplicera in ett tal i parentesen.
Den distributiva lagen kommer väl till pass när vi ska förenkla ekvationer och uttryck, vilket vi kan se i det här exemplet:
$$ \begin{equation} \begin{split} 3\cdot (x+4)-8x &=\\ &=3\cdot x+3\cdot x&=\\ &=3x+x&=\\ &=x \end{split} \end{equation} $$
Vi kan även använda den distributiva lagen åt andra hållet, så att vi utgår från en summa av termer och skriver om uttrycket som en produkt. Att göra detta
Procedur placera parantes
Aysa skrev: [Svar till] Mariatherese skrev: Hur får du det till 75?
Han kanske har gjort så
* (4+11) =
* 15
5*15
75
Aysa och trådskaparen (Mariatherese) tänk att när du har :
-4*(2+3) så blir det -4*5 som blir (). Alltså negativt.
Alltså ett negativt tal multiplicerat med ett positivt tal ger ett negativt tal som svar.
Tänk också på att a * (b + c) är samma sak som att skriva a (b + c).
Tänk också att man räknar i följande ordning:
- 1. parenteser
- 2. exponenter
- 3. Multiplikation och division (från vänster till höger i uttrycket)
- 4. Addition och subtraktion (från vänster till höger i uttrycket).
Går vi till uttrycket:
9 - 4 (4+11) får vi då, 9 - 4 (15). Vilket ger, 9 - 4*15 = =
Aysa skrev :
Hej hej
Är det så du menar
( ) *( 4+11)
( ) *( 4+11) blir däremot (5) (15) = 75 (alltså 5*15 = 75)
Förenkla uttryck med parenteser
I årskurs 8 lärde vi oss hur vi kan förenkla uttryck som innehållerparenteser. Vi kom också fram till räkneregler som gäller när vi ska multiplicera en parentes med en faktor.
I det här avsnittet ska vi repetera dessa räkneregler och öva på att hantera uttryck med parenteser.
Addera och subtrahera parenteser
När vi ska addera eller subtrahera en parentes finns det räkneregler som vi måste följa.
För addition av en parentes gäller räknereglerna
$$a+(b+c)=a+b+c$$
$$a+(b-c)=a+b-c$$
där a, b och c är tal.
Räknereglerna ovan kan vi tolka som att när vi adderar en parentes kan vi ta bort parentesen direkt.
För subtraktion av en parentes gäller räknereglerna
$$a-(b+c)=a-b-c$$
$$a-(b-c)=a-b+c$$
där a, b och c är tal.
Dessa räkneregler kan vi tolka som att när vi subtraherar en parentes kan vi ta bort parentesen om vi samtidigt byter tecken på varje term inom parentesen.
Förenkla dessa uttryck
$$ a)\,\,3x+(4x-2) $$
$$b)\,\,4x-(2x+1)$$
$$c)\,\,2x-(x-3) $$
$$d)\,\,x+(3x+4)$$
Lösningsförslag:
a)
Vi ska addera en parentes, så därför får vi ta bort parentesen direkt. Då får vi följande uttryck, som vi före
.